Question

18．已知函數f（x）=|x+1|+|x+m|．
（1）若函數f（x）的最小值為2，求m的值；
（2）當x∈[-1，1]時，不等式f（x）≤2x+3恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的最小值，得到|m-1|=2，解出m的值即可；
（2）問題轉化為-2x-2≤m≤2，即可求m的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=|x+1|+|x+m|≥|（x+1）-（x+m）|=|m-1|，
當且僅當（x+1）（x+m）≤0時取等號，
∴f（x）_min=|m-1|，
由|m-1|=2，解得：m=3或m=-1；
（2）當x∈[-1，1]時，不等式f（x）≤2x+3，即x+1+|x+m|≤2x+3，
∴-x-2≤x+m≤x+2，
∴-2x-2≤m≤2，
∵x∈[-1，1]，
∴0≤m≤2．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查了等價轉化的數學思想，是一道中檔題．