Question

6．已知圓C經過點A（0，2），B（2，0），圓C的圓心在圓x²+y²=2的內部，且直線3x+4y+5=0被圓C所截得的弦長為2$\sqrt{3}$，點P為圓C上異于A、B的任意一點，直線PA與x軸交于點M，直線PB與y軸交于點N．
（1）求圓C的方程；
（2）求證：|AN|•|BM|為定值；
（3）當$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$取得最大值時，求|MN|．

Answer 1

分析 （1）直線3x+4y+5=0被圓C所截得的弦長為2$\sqrt{3}$，且r=$\sqrt{{a}^{2}+（a-2）^{2}}$，C（a，a）到直線3x+4y+5=0的距離d=$\frac{|7a+5|}{5}$=$\sqrt{{r}^{2}-3}$=$\sqrt{2{a}^{2}-4a+1}$，即可求圓C的方程；
（2）分類討論，求出直線PA，PB的方程，可得M，N的坐標，即可證明結論；
（3）利用向量的數量積公式，結合三角函數知識，求出M，N的坐標，即可得出結論．

解答 （1）解：知點C在線段AB的中垂線y=x上，故可設C（a，a），圓C的半徑為r．
∵直線3x+4y+5=0被圓C所截得的弦長為2$\sqrt{3}$，且r=$\sqrt{{a}^{2}+（a-2）^{2}}$，
∴C（a，a）到直線3x+4y+5=0的距離d=$\frac{|7a+5|}{5}$=$\sqrt{{r}^{2}-3}$=$\sqrt{2{a}^{2}-4a+1}$，
∴a=0，或a=170．
又圓C的圓心在圓x²+y²=2的內部，∴a=0，圓C的方程x²+y²=4．
（2）證明：當直線PA的斜率不存在時，|AN|•|BM|=8．
當直線PA與直線PB的斜率存在時，
設P（x₀，y₀），直線PA的方程為y=$\frac{{y}_{0}-2}{{x}_{0}}$x+2，令y=0得M（$\frac{2{x}_{0}}{2-{y}_{0}}$，0）．
直線PB的方程為y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$（x-2），令x=0得N（0，$\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$）．
∴|AN|•|BM|=（2-$\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$）（2-$\frac{2{x}_{0}}{2-{y}_{0}}$）=4+4×$\frac{4-2{y}_{0}-2{x}_{0}+{x}_{0}{y}_{0}}{4-2{y}_{0}-2{x}_{0}+{x}_{0}{y}_{0}}$=8，
故|AN|•|BM|為定值為8；
（3）解：$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（-x₀，2-y₀）•（2-x₀，-y₀）=x₀²+y₀²-2x₀-2y₀=4-2（x₀+y₀），
設P（2cosα，2sinα），則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=4-4$\sqrt{2}$sin（α+45°），
∴sin（α+45°）=-1時$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$取得最大值4+4$\sqrt{2}$，此時x₀=-$\sqrt{2}$，y₀=-$\sqrt{2}$，
∴M（-2$\sqrt{2}$+2，0），N（0，-2$\sqrt{2}$+2），
∴|MN|=4-2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查圓的方程，考查直線的方程，考查直線與圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．