Question

18．如圖，四邊形ABCD是正方形，且平面ABCD⊥平面ABEG，F是AG上一點，且△ABE與△AEF都是等腰直角三角形，AB=AE，AF=EF．
（1）求證：EF⊥平面BCE；
 （2）設線段CD，AE的中點分別為P，M，求三棱錐M-BDP和三棱錐F-BCE的體積比．

Answer 1

分析 （1）推導出BC⊥平面ABEG，從而EF⊥BC，再求出EF⊥BE，由此能證明EF⊥平面BCE．
（2）設正方形ABCD的邊長為a，連結MB，MD，BD，BP，V_M-BDP=$\frac{1}{3}{S}_{△BDP}×MA$；同理，連接FB，FC，則V_F-BCE=$\frac{1}{3}{S}_{△BCE}×EF$，由此能求出三棱錐M-BDP和三棱錐F-BCE的體積比．

解答 證明：（1）∵平面ABCD⊥平面ABEG，平面ABCD∩平面ABEG=AB，
ABCD為正方形，
∴BC⊥平面ABEG，∵EF?平面ABEG，∴EF⊥BC，
∵$∠AEF+∠AEB=\frac{π}{2}$，∴EF⊥BE，
又BE?平面BCE，BC?平面BCE，BC∩BE=B，
∴EF⊥平面BCE．
解：（2）設正方形ABCD的邊長為a，連結MB，MD，BD，BP，
則V_M-BDP=$\frac{1}{3}{S}_{△BDP}×MA$=$\frac{1}{3}×\frac{{a}^{2}}{4}×\frac{a}{2}=\frac{{a}^{3}}{24}$，
同理，連接FB，FC，
則BCEV_F-BCE=$\frac{1}{3}{S}_{△BCE}×EF$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}{a}^{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}a}{2}$=$\frac{{a}^{3}}{6}$，
∴V_M-BDP：V_F-EBC=$\frac{1}{24}：\frac{1}{6}$=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查兩個三棱錐的體積之比的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．