Question

13．若存在兩個正實數x，y，使得等式${x^3}{e^{\frac{y}{x}}}-a{y^3}=0$成立，其中e為自然對數的底數，則實數a的取值范圍為（　　）

• A． $[\frac{e^2}{8}，+∞）$
• B． $（0，\frac{e^3}{27}]$
• C． $[\frac{e^3}{27}，+∞）$
• D． $（0，\frac{e^2}{8}]$

Answer 1

分析 分離參數，利用換元法轉化為方程有解，構造函數求函數的導數，利用函數極值和單調性的關系進行求解即可

解答 解：∵存在兩個正實數x，y，使得等式${x^3}{e^{\frac{y}{x}}}-a{y^3}=0$成立，
∴a=$\frac{{e}^{\frac{y}{x}}}{（\frac{y}{x}）^{3}}$，
設$\frac{y}{x}$=t，t＞0，則a=$\frac{{e}^{t}}{{t}^{3}}$，
設f（t）=$\frac{{e}^{t}}{{t}^{3}}$，
則f′（t）=$\frac{{e}^{t}（t-3）}{{t}^{4}}$，
當t＞3時，f′（t）＞0，函數f（t）單調遞增，
當0＜t＜3時，f′（t）＜0，函數f（t）單調遞減，
∴f（t）_min=f（3）=$\frac{{e}^{3}}{27}$，
∴a≥$\frac{{e}^{3}}{27}$
故選：C

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，利用構造法和導數法求出函數的極值和最值是解決本題的關鍵．綜合性較強．