Question

9．在六條棱長分別為2、3、3、4、5、5的所有四面體中，最大的體積是（　　）

• A． $\frac{{8\sqrt{2}}}{3}$
• B． $\frac{{5\sqrt{11}}}{6}$
• C． $\frac{{\sqrt{462}}}{4}$
• D． $2\sqrt{6}$

Answer 1

分析 由題意畫出適合題意的四面體，求出每種情況的體積比較得答案．

解答 解：由題意可知，由棱長2、3、3、4、5、5構(gòu)成的四面體有如下三種情況：

左圖中，由于3²+4²=5²，即圖中AD⊥平面BCD，
∴V₁=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}×4=\frac{8\sqrt{2}}{3}$；
中間圖，由于此情況的底面與上相同，但AC不與底垂直，故高＜4，于是得  V₂＜V₁；
右圖中，高＜2，底面積$\frac{1}{2}×5×\sqrt{{3}^{2}-（\frac{5}{2}）^{2}}=\frac{5}{4}\sqrt{11}$．
∴V₃＜$\frac{1}{3}×\frac{5}{4}\sqrt{11}=\frac{5}{6}\sqrt{11}$＜$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．
∴最大體積為$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查了棱錐的體積和表面積，考查了學(xué)生的空間想象能力，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，此題是中檔題．