Question

13．已知橢圓C中心在原點，離心率$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其右焦點是圓E：（x-1）²+y²=1的圓心．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）如圖，過橢圓C上且位于y軸左側的一點P作圓E的兩條切線，分別交y軸于點M、N．試推斷是否存在點P，使$|MN|=\frac{{\sqrt{14}}}{3}$？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知條件分別求出a，c的值，而b²=a²-c²，代入求出橢圓的方程．
（2）假設存在點P滿足題意，設點P（x₀，y₀）（x₀＜0），M（0，m），N（0，n），利用條件求出直線PM方程，根據圓心E（1，0）到直線．的距離為1，求出m與點P坐標之間的關系，同理求出n與點P坐標之間的關系，利用韋達定理求出m+n，mn的表達式，算出|MN|，求出P點坐標．

解答 解：（1）設橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），半焦距為c，
因為橢圓的右焦點是圓E的圓心，則c=1，
因為橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a=$\sqrt{2}c=\sqrt{2}$，
從而b²=a²-c²=1，
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）設點P（x₀，y₀）（x₀＜0），M（0，m），N（0，n），
則直線PM的方程為y=$\frac{{y}_{0}-m}{{x}_{0}}x+m$，即（y₀-m）x-x₀y+mx₀=0，
因為圓心E（1，0）到直線PM的距離為1，
即$\frac{|{y}_{0}-m+{x}_{0}m|}{\sqrt{（{y}_{\;}0-m）^{2}+{{x}_{0}}^{2}}}$=1，
即（y₀-m）²+${{x}_{0}}^{2}$=（y₀-m）²+2x₀m（y₀-m）+${{x}_{0}}^{2}{m}^{2}$，即（x₀-2）m²+2y₀m-x₀=0，
同理（x₀-2）n²+2y₀n-x₀=0．
由此可知，m，n為方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的兩個實根，
所以m+n=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，mn=-$\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}-2}$，
|MN|=|m-n|=$\sqrt{（m+n）^{2}-4mn}$=$\sqrt{\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{（{x}_{0}-2）^{2}}+\frac{4{x}_{0}}{{x}_{0}-2}}$=$\sqrt{\frac{4{{x}_{0}}^{2}+4{{y}_{0}}^{2}-{x}_{0}}{（{x}_{0}-2）^{2}}}$．
因為點P（x₀，y₀）在橢圓C上，則$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}+{{y}_{0}}^{2}=1$，即${{y}_{0}}^{2}=1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$，
則|MN|=$\sqrt{\frac{2{{x}_{0}}^{2}-8{x}_{0}+4}{（{x}_{0}-2）^{2}}}$=$\sqrt{\frac{2（{x}_{0}-2）^{2}-4}{（{x}_{0}-2）^{2}}}$=$\sqrt{2-\frac{4}{（{x}_{0}-2）^{2}}}$，
令$\sqrt{2-\frac{4}{（{x}_{0}-2）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{14}}{3}$，
則（x₀-2）²=9，
因為x₀＜0，則x₀=-1，${{y}_{0}}^{2}$=1-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，即${y}_{0}=±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故存在點P（-1，$±\frac{\sqrt{2}}{2}$）滿足題設條件．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的點的坐標的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質、韋達定理、直線與橢圓位置關系等知識點的合理運用．