Question

4．設函數$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$，其中$\overrightarrow m=（2cosx，1），\overrightarrow n=（cosx，\sqrt{3}sin2x），x∈R$
（1）求出f（x）的最小正周期和單調遞減區間；
（2）求f（x）在[$-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$上最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式、輔助角公式，化簡函數，即可求出f（x）的最小正周期和單調遞減區間；
（2）利用正弦函數的圖象與性質，即可求f（x）在[$-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$上最大值與最小值．

解答 解：（1）∵$f（x）=2{cos^2}x+\sqrt{3}sin2x=1+cos2x+\sqrt{3}sin2x$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$…（2分）
∴f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$…（3分）
令$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ，（k∈Z）$
解得$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ，k∈Z$…（5分）
∴f（x）的單調遞減區間為$[{\frac{π}{6}+kπ，\frac{2π}{3}+kπ}]（k∈Z）$…（6分）
（2）$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]⇒2x∈[-\frac{π}{3}，\frac{π}{2}]⇒2x+\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$----------------（8分）
當$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$即$x=\frac{π}{6}$時$f{（x）_{max}}=f（\frac{π}{6}）=3$-------------（10分）
當$2x+\frac{π}{6}=-\frac{π}{6}$即$x=-\frac{π}{6}$時$f{（x）_{min}}=f（-\frac{π}{6}）=0$---------（12分）

點評 本題考查二倍角公式、輔助角公式，考查正弦函數的圖象與性質，正確化簡函數是關鍵．