Question

14．若正實數x，y滿足log₂（x+3y）=log₄x²+log₂（2y），則3x+y的最小值是（　　）

• A． 12
• B． 6
• C． 16
• D． 8

Answer 1

分析 正實數x，y滿足log₂（x+3y）=log₄x²+log₂（2y），得：x+3y=2xy，即$\frac{1}{y}+\frac{3}{x}$=2，利用“1”的代換，即可求出3x+y的最小值．

解答 解：∵正實數x，y滿足log₂（x+3y）=log₄x²+log₂（2y），
∴（x+3y）²=x²（2y）²，整理，得：x+3y=2xy，
∴$\frac{1}{y}+\frac{3}{x}$=2，
∴3x+y=$\frac{1}{2}$（3x+y）（$\frac{1}{y}+\frac{3}{x}$）=$\frac{1}{2}$（10+$\frac{3x}{y}$+$\frac{3y}{x}$）≥$\frac{1}{2}$（10+6）=8，
故選D．

點評 本題考查對數的運算，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．