Question

6．已知函數f（x）=2alnx-x²+1（a∈R）．
（Ⅰ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）若a＞0，求函數f（x）在區間[1，+∞）上的最大值；
（Ⅲ）若f（x）≤0在區間[1，+∞）上恒成立，求a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；
（Ⅱ）先求出函數的導數，通過討論①當$\sqrt{a}$≤1②當$\sqrt{a}$＞1的情況，從而求出函數的最值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：當0＜a≤1時，f（x）≤f（1）=0在區間[1，+∞）上恒成立；當a＞1時，由于f（x）在區間[1，$\sqrt{a}$]上是增函數，從而得到a的最大值．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{2{（x}^{2}-a）}{x}$，（x＞0），
a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增，
a＞0時，令f′（x）＞0，解得x₁＞$\sqrt{a}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\sqrt{a}$，
故f（x）在（0，$\sqrt{a}$）遞減，在（$\sqrt{a}$，+∞）遞增；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{2{（x}^{2}-a）}{x}$，（x＞0），
令f′（x）=0，由a＞0，解得x₁=$\sqrt{a}$，x₂=-$\sqrt{a}$（舍去），
①當$\sqrt{a}$≤1，即0＜a≤1時，在區間[1，+∞）上f′（x）≤0，函數f（x）是減函數．
所以 函數f（x）在區間[1，+∞）上的最大值為f（1）=0；        
②當$\sqrt{a}$＞1，即a＞1時，x在[1，+∞）上變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表

x	1	（1，$\sqrt{a}$）	$\sqrt{a}$	（$\sqrt{a}$，+∞）
f′（x）		+	0	-
f（x）	0	↗	alna-a+1	↘

∴函數f（x）在區間[1，+∞）上的最大值為f（$\sqrt{a}$）=alna-a+1，
綜上所述：當0＜a≤1時，函數f（x）在區間[1，+∞）上的最大值為f（1）=0；
當a＞1時，函數f（x）在區間[1，+∞）上的最大值為f（$\sqrt{a}$）=alna-a+1，
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：當0＜a≤1時，f（x）≤f（1）=0在區間[1，+∞）上恒成立；
當a＞1時，由于f（x）在區間[1，$\sqrt{a}$]上是增函數，
∴f（$\sqrt{a}$）＞f（1）=0，即在區間[1，+∞）上存在x=$\sqrt{a}$使得f（x）＞0．
綜上所述，a的最大值為1．

點評 本題考查了函數的單調性，函數的最值問題，考查了導數的應用，是一道中檔題．