Question

19．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右頂點為A、B，左右焦點為F₁，F₂，其長半軸的長等于焦距，點Q是橢圓上的動點，△QF₁F₂面積的最大值為$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）設P為直線x=4上不同于點（4，0）的任意一點，若直線AP、BP分別與橢圓交于異于A、B的點M、N，判斷點B與以MN為直徑的圓的位置關系．

Answer 1

分析 （1）當Q為橢圓短軸頂點時，△QF₁F₂面積最大，列出方程組解出a，b，c即可；
（2）設M（x₀，y₀），利用A，M，P三點共線求出P點坐標，計算$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{BP}$得出∠MBP的范圍，從而確定∠MBN的范圍，進而判斷出B與以MN為直徑的圓的位置關系．

解答 解：（1）∵長半軸的長等于焦距，△QF₁F₂面積的最大值為$\sqrt{3}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2c}\\{\frac{1}{2}×2c×b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，又a²-b²=c²，
∴a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1．
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）A（-2，0），B（2，0），
設M（x₀，y₀），則$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1$，即y₀²=$\frac{3}{4}$（4-x₀²），且-2＜x₀＜2．
∵P，A，M三點共線，∴P（4，$\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$），
∴$\overrightarrow{BM}$=（x₀-2，y₀），$\overrightarrow{BP}$=（2，$\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$），
∴$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{BP}$=2（x₀-2）+$\frac{6{{y}_{0}}^{2}}{{x}_{0}+2}$=$\frac{2}{{x}_{0}+2}$（x₀²-4+3y₀²）=$\frac{2}{{x}_{0}+2}$[x₀²-4+$\frac{9}{4}$（4-x₀²）]=$\frac{5}{2}$（2-x₀）＞0，
∴∠MBP為銳角，
∴∠MBN為鈍角，
∴點B在以MN為直徑的圓內．

點評 本題考查了橢圓的性質，直線與橢圓的位置關系，屬于中檔題．