Question

4．點P是棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面A₁B₁C₁D₁上一點，則$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{P{C_1}}$的取值范圍是[-$\frac{1}{2}$，0]．

Answer 1

分析 建立空間直角坐標系，設出點P的坐標為（x，y，z），則由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z=1，計算$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{{PC}_{1}}$=x²-x，利用二次函數的性質求得它的值域即可．

解答 解：以點D為原點，以DA所在的直線為x軸，以DC所在的直線為y軸，以DD₁所在的直線為z軸，
建立空間直角坐標系，如圖所示；
則點A（1，0，0），C₁ （0，1，1），
設點P的坐標為（x，y，z），由題意可得 0≤x≤1，0≤y≤1，z=1；
∴$\overrightarrow{PA}$=（1-x，-y，-1），$\overrightarrow{{PC}_{1}}$=（-x，1-y，0），
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{{PC}_{1}}$=-x（1-x）-y（1-y）+0=x²-x+y²-y=${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$+${（y-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{2}$，
由二次函數的性質可得，當x=y=$\frac{1}{2}$時，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{{PC}_{1}}$取得最小值為-$\frac{1}{2}$；
當x=0或1，且y=0或1時，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{{PC}_{1}}$取得最大值為0，
則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{{PC}_{1}}$的取值范圍是[-$\frac{1}{2}$，0]．
故答案為：[-$\frac{1}{2}$，0]．

點評 本題主要考查了向量在幾何中的應用與向量的數量積運算問題，是綜合性題目．