Question

9．如圖，矩形ABCD中，$AB=\sqrt{2}AD$，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻轉成△A₁DE．若M為線段A₁C的中點，則在△ADE翻轉過程中，下列結論中：①|BM|是定值；②點M在球面上運動；③DE⊥A₁C；④MB∥平面A₁DE．其中錯誤的有（　　）個

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 取DC中點N，連MN，NB，則MN∥A₁D，NB∥DE，從而MB∥面A₁DE；由MN=$\frac{1}{2}$A₁D，NB=DE，根據余弦定理得到MB是定值；M是在以B為圓心，MB為半徑的球上；A₁C在平面ABCD中的射影為AC，AC與DE不垂直．

解答 解：取DC中點N，連MN，NB，MN∥A₁D，NB∥DE，
∴面MNB∥面A₁DE，MB?面MNB，
∴MB∥面A₁DE，故④正確；
∠A₁DE=∠MNB，MN=$\frac{1}{2}$A₁D為定值，NB=DE為定值，
根據余弦定理得到：MB²=MN²+NB²-2MN•NB•cos∠MNB，
所以MB是定值．故①正確．
B是定點，所以M是在以B為圓心，MB為半徑的球上，故②正確．
A₁C在平面ABCD中的射影為AC，AC與DE不垂直，故③不正確．
故選：B．

點評 本題考查命題命題真假的判斷，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關系的合理運用．