Question

17．定義運算$|{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}|=ad-bc$，若$|{\begin{array}{l}{sinθ}&2\\{cosθ}&3\end{array}}|=0$，則2sin²θ+sinθcosθ的值是$\frac{14}{13}$．

Answer 1

分析 根據題意得出3sinθ-2cosθ=0，再化2sin²θ+sinθcosθ=$\frac{{2sin}^{2}θ+sinθcosθ}{{sin}^{2}θ{+cos}^{2}θ}$，代入求值即可．

解答 解：根據題意，$|{\begin{array}{l}{sinθ}&2\\{cosθ}&3\end{array}}|=0$，
∴3sinθ-2cosθ=0，
∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{2}{3}$，
∴2sin²θ+sinθcosθ=$\frac{{2sin}^{2}θ+sinθcosθ}{{sin}^{2}θ{+cos}^{2}θ}$
=$\frac{{2tan}^{2}θ+tanθ}{{tan}^{2}θ+1}$
=$\frac{2{×（\frac{2}{3}）}^{2}+\frac{2}{3}}{{（\frac{2}{3}）}^{2}+1}$
=$\frac{14}{13}$．
故答案為：$\frac{14}{13}$．

點評 本題考查了新定義的三角函數化簡與求值問題，是基礎題．