Question

1．設函數f （x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-x-1，函數f′（x）為f （x）的導函數．
（I）求函數f′（x）的單調區間和極值；
（II）已知函數y=g （x）的圖象與函數y=f （x）的圖象關于原點對稱，證明：當x＞0時，f （x）＞g （x）；
（Ⅲ）如果x₁≠x₂，且f （x₁）+f （x₂）=0，證明：x₁+x₂＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間和極值即可；
（Ⅱ）令F （x）=f （x）-g （x），求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出F（x）＞F（0），證出結論即可；
（Ⅲ）要證x₁+x₂＜0，即證x₁＜-x₂，根據函數的單調性只需證-f （x₂）=f （x₁）＜f （-x₂），即f （x₂）+f （-x₂）＞0，結合（Ⅱ）得出結論．

解答 解：（I）f′（x）=e^x-x-1，f′′（x）=e^x-1（2分）
當x＜0時，f′′（x）＜0，當x＞0時，f′′（x）＞0
∴f′（x）在（-∞，0）上單調遞減；在（0，+∞）上單調遞增．
當x=0時，f′（0）=0為f′（x）極小值，無極大值．（4分）
（II）證明：由題意g （x）=-f （-x）=-e^-x+$\frac{1}{2}$x²-x+1，（5分）
令F （x）=f （x）-g （x）=f （x）+f （-x）=e^x+e^-x-x²-2（x≥0），
F′（x）=e^x-e^-x-2x，F′′（x）=e^x+e^-x-2≥0（6分）
因此，F′（x）在[0，+∞）上單調遞增，從而有F′（x）≥F′（0）=0；
因此，F （x）在[0，+∞）上單調遞增，（7分）
當x＞0時，有F （x）＞F （0）=0，即f （x）＞g （x）．（8分）
（III）證明：由（I）知，f′（x）≥0，即f （x）在R上單調遞增，且f （0）=0．（9分）
因為x₁≠x₂，不妨設x₁＜x₂，于是有x₁＜0，x₂＞0，
要證x₁+x₂＜0，即證x₁＜-x₂．
因為f （x）單調遞增，f （x₁）+f （x₂）=0
故只需證-f （x₂）=f （x₁）＜f （-x₂），即f （x₂）+f （-x₂）＞0（10分）
因為x₂＞0，由（II）知上不等式成立，從而x₁+x₂＜0成立．（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及不等式的證明，是一道中檔題．