Question

10．若橢圓${C_1}：\frac{x^2}{{{a_1}^2}}+\frac{y^2}{{{b_1}^2}}=1\;（\;{a_1}＞0，{b_1}＞0）$，和橢圓${C_2}：\frac{x^2}{{{a_2}^2}}+\frac{y^2}{{{b_2}^2}}=1\;（\;{a_2}＞{b_2}＞0）$的焦點相同，且a₁＞a₂；給出如下四個結論：其中，所有正確結論的序號為①③
①橢圓C₁和橢圓C₂一定沒有公共點；  
②$\frac{a_1}{a_2}＞\frac{b_1}{b_2}$；
③${a_1}^2-{a_2}^2={b_1}^2-{b_2}^2$
④a₁-a₂＜b₁-b₂．

Answer 1

分析 由條件可知兩橢圓的焦點均在x軸上，且a₁²-b₁²=a₂²-b₂²，由a₁＞a₂，可得b₁＞b₂，即可判斷①③；
舉例若橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1．即可判斷②④．

解答 解：由題意可得兩橢圓的焦點均在x軸上，且a₁²-b₁²=a₂²-b₂²，
即有a₁²-a₂²=b₁²-b₂²，故③正確；
由a₁＞a₂，可得b₁＞b₂，
由橢圓的對稱性可得橢圓C₁和橢圓C₂一定沒有公共點，故①正確；
若橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1．
滿足題意，但a₁-a₂=6-5=1，b₁-b₂=2-1=1，
即有a₁-a₂=b₁-b₂．故④錯誤；
由$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{6}{5}$，$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$=2，即有$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$＜$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$，故②錯誤．
故答案為：①③．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，以及基本量的關系，考查判斷能力和運算能力，屬于基礎題．