Question

5．已知實數(shù)x，y不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+y-4≥0\\ x-y+2≥0\\ 5x-3y-12≤0\end{array}\right.$，則z=$\frac{x}{x+y}$的最大值為（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． 3

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用直線斜率的幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
z=$\frac{x}{x+y}$=$\frac{1}{1+\frac{y}{x}}$，
設(shè)k=$\frac{y}{x}$，則z=$\frac{1}{1+k}$，k的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到原點的斜率，
則要求z的最大值，則只需要求k的最小值即可，
由圖象知OA的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{5x-3y-12=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（3，1），
此時z=$\frac{3}{3+1}$=$\frac{3}{4}$，
故選：C．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)條件結(jié)合直線斜率的公式，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．