Question

3．求適合下列條件的標準方程：
（1）焦點在x軸上，與橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$具有相同的離心率且過點（2，-$\sqrt{3}$）的橢圓的標準方程；
（2）焦點在y軸上，焦距是16，離心率$e=\frac{4}{3}$的雙曲線標準方程．

Answer 1

分析 （1）設所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），運用離心率公式和點滿足橢圓方程，以及基本量a，b，c的關系，解方程即可得到所求橢圓方程；
（2）設雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），由離心率公式和a，b，c的關系，即可得到所求雙曲線方程．

解答 解：（1）設所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
且$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{3}{{b}^{2}}$=1，c²=a²-b²，
解得a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{6}$，
即有橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1；
（2）設雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
由題意可得2c=16，即c=8，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{3}$，可得a=6，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{64-36}$=2$\sqrt{7}$．
則雙曲線的標準方程為$\frac{{y}^{2}}{36}$-$\frac{{x}^{2}}{28}$=1．

點評 本題考查橢圓和雙曲線的方程的求法，注意運用待定系數法，以及橢圓和雙曲線的性質，考查方程思想，以及運算能力，屬于基礎題．