Question

已知函數f（x）=sin

1

2

x+

3

cos

1

2

x+1，求：
（1）函數f（x）的最小正周期；
（2）函數f（x）的值域．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,函數的值域,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）由兩角和的正弦公式化簡解析式可得f（x）=2sin（

x

2

+

π

3

）+1，從而由三角函數的周期性及其求法即可得解．
（2）根據正弦函數的性質可得sin（

x

2

+

π

3

）∈[-1，1]，從而可求得2sin（

x

2

+

π

3

）+1∈[-1，3]．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin

1

2

x+

3

cos

1

2

x+1=2sin（

x

2

+

π

3

）+1，
∴T=

2π

1 2

=4π，故函數f（x）的最小正周期是4π．
（2）∵sin（

x

2

+

π

3

）∈[-1，1]，
∴2sin（

x

2

+

π

3

）+1∈[-1，3]，
∴函數f（x）的值域為[-1，3]．

點評：本題主要考查了兩角和的正弦公式的應用，三角函數的周期性及其求法，三角函數的值域的求法，屬于基礎題．