Question

已知函數f（x），若對給定的△ABC，它的三邊的長a，b，c均在函數f（x）的定義域內，且f（a），f（b），f（c）也為某三角形的三邊的長，則稱f（x）是“保三角形函數”，給出下列命題：
①函數f（x）=x²+1是“保三角形函數”；
②函數f（x）=

x

（x＞0）是“保三角形函數”；
③若函數f（x）=kx是“保三角形函數”，則實數k的取值范圍是（0，+∞）；
④若函數f（x）是定義在R上的周期函數，值域為（0，+∞），則f（x）是“保三角形函數”；
⑤若函數f（x）=

e2x+t•ex+1

e2x+ex+1

是“保三角形函數”，則實數t的取值范是[-

1

2

，4]．
其中所有真命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：綜合題,推理和證明

分析：判斷函數f（x）是不是“三角形函數”，只須對任意的三角形，設它的三邊長分別為a，b，c，則a+b＞c，不妨假設a≤c，b≤c，判斷f（a），f（b），f（c）是否滿足任意兩數之和大于第三個數，即任意兩邊之和大于第三邊即可．
①f（x）=x²+1，舉例即可說明錯誤；
②f（x）=

x

（x＞0），設△的三邊長分別為a，b，c，且a+b＞c，不妨設a≤c，b≤c，則f（a）+f（b）=

a

+

b

＞

a+b

，f（a）+f（b）＞f（c），命題②正確；
③在函數f（x）=kx的定義域內任取三個正數a，b，c，不妨設a＞b＞c＞0，由a，b，c構成三角形的條件得到a+b＞c，再由對應的函數值為ka，kb，kc可構成一個三角形的三邊求得k的范圍判斷命題正確；
④舉例說明命題錯誤．
⑤因對任意實數a、b、c，都存在以f（a）、f（b）、f（c）為三邊長的三角形，則f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，將f（x）解析式用分離常數法變形，由均值不等式可得分母的取值范圍，整個式子的取值范圍由t-1的符號決定，故分為三類討論，根據函數的單調性求出函數的值域，然后討論k轉化為f（a）+f（b）的最小值與f（c）的最大值的不等式，進而求出實數k 的取值范圍．

解答： 解：①對于函數f（x）=x²+1，2、3、4可以構成一個三角形的三邊，且在其定義域內，但f（2）=5，f（3）=10，f（4）=17構不成一個三角形的三邊，命題①錯誤；
②對于f（x）=

x

（x＞0），設△的三邊長分別為a，b，c，且a+b＞c，不妨設a≤c，b≤c，則f（a）+f（b）=

a

+

b

＞

a+b

，f（c）=

c

＜

a+b

，∴f（a）+f（b）＞f（c），命題②正確；
③對于函數f（x）=kx，不妨設a＞b＞c＞0，則a+b＞c，對應的函數值為ka，kb，kc，若ka，kb，kc是一個三角形的三邊，
則k＞0，且ka+kb＞kc，即k（a+b）＞kc，此式在k＞0時恒成立，則實數k的取值范圍是（0，+∞），命題③為真命題；
④對于定義在R上的周期函數f（x），值域是（0，+∞），設T（T＞0）是f（x）的一個周期，則存在n＞m＞0，有f（m）=1，f（n）=2，
取正整數λ＞

n-m

T

，則λT+m，λT+m，n是三角形的三邊，又f（λT+m）=1，f（λT+m）=1，f（n）=2不能組成三角形，∴命題④錯誤．
⑤由題意可得f（a）+f（b）＞f（c）對于?a，b，c∈R都恒成立，
由于f（x）=

e2x+t•ex+1

e2x+ex+1

=1+

t-1

e2x+ex+1

•e^x=1+

t-1

ex+ 1 ex +1

，
當t-1=0，f（x）=1，此時，f（a），f（b），f（c）都為1，構成一個等邊三角形的三邊長，滿足條件．
當t-1＞0，f（x）在R上是減函數，1＜f（a）≤1+

1

3

（t-1）=

t+2

3

，
同理1＜f（b）≤

t+2

3

，1＜f（c）≤

t+2

3

，
由f（a）+f（b）＞f（c），可得2≥

t+2

3

，解得1＜t≤4．
當t-1＜0，f（x）在R上是增函數，

t+2

3

≤f（a）＜1，
同理

t+2

3

≤f（b）＜1，

t+2

3

≤f（c）＜1，
由f（a）+f（b）＞f（c），可得2×

t+2

3

≥1，解得1＞t≥-

1

2

．
綜上可得，-

1

2

≤t≤4，∴⑤正確
∴正確的命題是②③⑤．
故答案為：②③⑤．

點評：本題通過命題真假的判定，考查了新定義下的函數模型的應用問題，是比較容易出錯的題目，是中檔題．