Question

4．如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，Q是PA的中點．
（1）證明：PC∥平面BDQ；
（2）求點A到面BDQ的距離．

Answer 1

分析 （1）連結AC，交BD于O，證明OQ∥PC，然后證明PC∥平面BDQ．
（2）求出三棱錐_Q-BAD的高OA，求出底面積，利用棱柱的體積求解即可．

解答 解：（1）證明：連結AC，交BD于O，連接OQ，
因為底面ABCD為正方形，所以O為AC的中點，
又因為Q是PA的中點，所以OQ∥PC，
∵OQ?平面BDQ，PC?平面BDQ，∴PC∥平面BDQ．
（2）因為側棱PA⊥底面ABCD，
所以三棱錐_Q-BAD的高為$QA=\frac{1}{2}PA=\frac{1}{2}×2=1$，
所以底面積為${S_{△BAD}}=\frac{1}{2}×2×2=2$，
∴${V_{Q-BAD}}=\frac{1}{3}×{S_{△BAD}}×QA=\frac{1}{3}×2×1=\frac{2}{3}$．OQ=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}$，
由等體積法V_Q-BAD=V_A-BDQ，得$\frac{1}{3}$hS_△BDQ=$\frac{1}{3}h$×$\frac{1}{2}$BD•OQ=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}h×2\sqrt{2}×\frac{1}{2}\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}h$=$\frac{2}{3}$．
h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定定理以及幾何體的體積的求法，考查轉化思想以及計算能力．