Question

14．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的圓交AC于點E，過點E作圓O的切線交BC于點F．
（1）求證：BC=2EF；
（2）若CE=3OA，求∠EFB的大小．

Answer 1

分析 （1）由題意可知，FB，FE均為圓O的切線，FB=EF，由∠FEC+∠OEA=∠FEC+∠OAC=90°，由∠OAC+∠ACB=90°，∠FEC=∠ACB，EF=FC，BC=BF+FC=2EF；
（2）設OA=1，則CE=3，AB=2，由射影定理可知AB²=AE•AC，求得AE=1，AC=4，則$sin∠ACB=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}$，由（1）可知，∠FEC=30°，則∠EFB=60°．

解答 解：（1）證明：由題意可知，FB，FE均為圓O的切線，
∴FB=EF，連接BE，OE，易知∠AEB=∠OEF=90°，
∴∠FEC+∠OEA=∠FEC+∠OAC=90°，
又∠OAC+∠ACB=90°，
∴∠FEC=∠ACB，
∴EF=FC，
∴BC=BF+FC=EF+EF=2EF…（5分）
（2）不妨設OA=1，則CE=3，AB=2，
在Rt△ABC中，由射影定理可知，AB²=AE•AC，2²=AE•（AE+3），
∴AE=1，
∴AC=4，則$sin∠ACB=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴∠ACB=30°，
由（1）可知，∠FEC=30°，
∴∠EFB=60°．…（10分）

點評 本題考查切線的性質，射影定理的應用，弦切角的性質，等腰三角形的性質，考查數形結合思想，屬于中檔題．