Question

2．如圖，過橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上一點P向x軸作垂線，垂足為左焦點F，A，B分別為E的右頂點，上頂點，且AB∥OP，|AF|=$\sqrt{2}$+1．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過原點O做斜率為k（k＞0）的直線，交E于C，D兩點，求四邊形ACBD面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得P（-c，$\frac{b2}{a}$），求出k_OP，k_AB，又AB∥OP，即可得到b=c，a=$\sqrt{2}$c，由已知|AF|=a+c=$\sqrt{2}$+1，求得a，b，則橢圓E的方程可求；
（2）由題意可設CD：y=kx，設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），到AB的距離分別為d₁，d₂，將y=kx代入橢圓方程可得x₁，x₂，進一步求出d₁，d₂，則四邊形ACBD的面積S取得最大值可求．

解答 解：（1）由題意可得P（-c，$\frac{b2}{a}$），
∴k_OP=-$\frac{b2}{ac}$，k_AB=-$\frac{a}$．
由AB∥OP，∴-$\frac{b2}{ac}$=-$\frac{a}$，解得b=c，a=$\sqrt{2}$c，
由|AF|=a+c=$\sqrt{2}$+1得b=c=1，a=$\sqrt{2}$，
故橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（2）由題意可設CD：y=kx，設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），到AB的距離分別為d₁，d₂，
將y=kx代入$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，得x²=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，則x₁=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，x₂=-$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$．
由A（$\sqrt{2}$，0），B（0，1）得|AB|=$\sqrt{3}$，且AB：x+$\sqrt{2}$y-$\sqrt{2}$=0，
d₁=$\frac{{x}_{1}+\sqrt{2}{y}_{1}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，d₂=-$\frac{{x}_{2}+\sqrt{2}{y}_{2}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
S=$\frac{1}{2}$|AB|（d₁+d₂）=$\frac{1}{2}$[（x₁-x₂）+$\sqrt{2}$（y₁-y₂）]
=$\frac{1}{2}$（1+$\sqrt{2}$k）（x₁-x₂）=$\frac{\sqrt{2}+2k}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，
S²=2（1+$\frac{2\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$），∵1+2k²≥2$\sqrt{2}$k，當且僅當2k²=1時取等號，
∴當k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，四邊形ACBD的面積S取得最大值2．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查了點到直線的距離公式的應用，考查計算能力，是中檔題．