Question

19．如圖，已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右頂點為A，O為坐標原點，以A為圓心的圓與雙曲線C的某漸近線交于兩點P，Q，若∠PAQ=60°，且$\overrightarrow{OQ}$=3$\overrightarrow{OP}$，則雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

Answer 1

分析 確定△QAP為等邊三角形，設AQ=2R，則OP=R，利用勾股定理，結合余弦定理，即可得出結論

解答 解：因為∠PAQ=60°且$\overrightarrow{OQ}$=3$\overrightarrow{OP}$，
所以△QAP為等邊三角形，
設AQ=2R，則OP=R，
漸近線方程為y=$\frac{b}{a}$x，A（a，0），取PQ的中點M，則AM=$\frac{|-ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$
由勾股定理可得（2R）²-R²=（$\frac{|-ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$）²，
所以（ab）²=3R²（a²+b²）①
在△OQA中，$\frac{（3R）^{2}+（2R）^{2}-{a}^{2}}{2×3R×2R}$=$\frac{1}{2}$，所以7R²=a²②
①②結合c²=a²+b²，可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$

點評 本題考查雙曲線的性質，考查余弦定理、勾股定理，考查學生的計算能力，屬于中檔題．