Question

15．已知函數f（x）=ax³-$\frac{3}{2}$x²+1（x∈R），其中a＞0．
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線方程；
（Ⅱ）若在區間[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用導數求切線斜率即可；
（Ⅱ）在區間[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上，f（x）＞0恒成立?f（x）_max＞0恒成立，令f′（x）=0，解得x=0或x=$\frac{1}{a}$，以下分兩種情況0＜a≤2，a＞2討論，分類求出函數最大值即可．

解答 （Ⅰ）當a=1時，f（x）=x³-$\frac{3}{2}$x²+1，f（3）=$\frac{29}{2}$；
f′（x）=3x²-3x，f′（3）=18，
所以曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線方程為y-$\frac{29}{2}$=18（x-3），即36x-2y-79=0．…（5分）
（Ⅱ）f′（x）=3ax²-3x=3x（ax-1），
令f′（x）=0，解得x=0或x=$\frac{1}{a}$，…（7分）
以下分兩種情況討論：
若0＜a≤2，則$\frac{1}{a}≥\frac{1}{2}$：
當x∈（-$\frac{1}{2}，0$）時，f′（x）＞0，當x∈（0，$\frac{1}{2}$）時，f′（x）＜0，∴f當x∈（-$\frac{1}{2}，0$）時，f（x）遞增，當x∈（0，$\frac{1}{2}$）時，f（x）遞減，
當x∈[-$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$]時，f（x）＞0等價于$\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{1}{2}）＞0}\\{f（\frac{1}{2}）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5-a}{8}＞0}\\{\frac{5+a}{8}＞0}\end{array}\right.$，
解不等式組得-5＜a＜5，因此0＜a≤2；…（9分）
若a＞2，則$0＜\frac{1}{a}＜\frac{1}{2}$，
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-$\frac{1}{2}$，0）	0	（0，$\frac{1}{a}$）	$\frac{1}{a}$	（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

當x∈[-$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$]時，f（x）＞0等價于$\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{1}{2}）＞0}\\{f（\frac{1}{a}）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5-a}{8}＞0}\\{1-\frac{1}{{2a}^{2}}＞0}\end{array}\right.$，
解不等式組得$\frac{\sqrt{2}}{2}＜a＜5$或a＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此2＜a＜5；…（11分）
綜合（1）和（2），可知a的取值范圍為0＜a＜5…（12分）

點評 本題考查了導數的綜合應用，及恒成立問題轉化為最值問題的處理，屬于中檔題．