Question

8．已知數列{a_n}的通項為a_n=log_（n+1）（n+2）（n∈N^*），我們把使乘積a₁•a₂•a₃…a_n為整數的n叫做“優數”，則在（1，2012]內的所有“優數”的和為2026．

Answer 1

分析 在區間（1，2012]中找出所有的“優數”之后用數列的求和公式進行計算．

解答 解：∵a_n=log_n+1（n+2）
∴a₁•a₂…a_n=log₂3•log₃4…log_n+1（n+2）
=$\frac{lg3}{lg2}$•$\frac{lg4}{lg3}$•$\frac{lg5}{lg4}$ …$\frac{lg（n+2）}{lg（n+1）}$=$\frac{lg（n+2）}{lg2}$=log₂（n+2）
若使log₂（n+2）為整數，則n+2=2^k
在（1，2012]內的所有整數分別為：2²-2，2³-2，…，2¹⁰-2
∴所求的數的和為2²-2+2³-2+…+2¹⁰-2=$\frac{4（1{-2}^{9}）}{1-2}$-18=2026．
故答案為：2026．

點評 本題考查了對數的運算性質，考查了數列和的求法，把a₁•a₂…a_n化簡轉化為對數的運算是解答的關鍵，體現了轉化的思想，屬中檔題．