Question

4．設O-ABC是正三棱錐，G₁是△ABC的重心，G是OG₁上的一點，且OG=3GG₁，若，則 $\overrightarrow{OG}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$，則（x，y，z）為（　�。�

• A． （$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$）
• B． （$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$）
• C． （$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）
• D． （$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$）

Answer 1

分析 由G是OG₁上一點，且OG=3GG₁，可得$\overrightarrow{OG}=\frac{3}{4}\overrightarrow{O{G_1}}=\frac{3}{4}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{A{G_1}}）=\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{4}\overrightarrow{A{G_1}}$，結合重心的定義，即可得出結論．

解答 解：由G是OG₁上一點，且OG=3GG₁，可得$\overrightarrow{OG}=\frac{3}{4}\overrightarrow{O{G_1}}=\frac{3}{4}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{A{G_1}}）=\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{4}\overrightarrow{A{G_1}}$
又因為G₁是△ABC的重心，所以$\overrightarrow{A{G_1}}=\frac{2}{3}[\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）]$∴$\overrightarrow{OG}=\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{4}•\frac{2}{3}[\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）]$
=$\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{4}[（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）+（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}）]=\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OC}$
而$\overrightarrow{OG}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$，
所以$x=\frac{1}{4}，y=\frac{1}{4}，z=\frac{1}{4}$，所以$（x，y，z）=（\frac{1}{4}，\frac{1}{4}，\frac{1}{4}）$，
故選A．

點評 本題考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，正確轉化是關鍵．