Question

15．設(shè)a＞0，b＞0，若1是2a與2b的等差中項(xiàng)，則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值為（　　）

• A． 8
• B． 4
• C． 1
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 根據(jù)1是2a與2b的等差中項(xiàng)建立關(guān)系，2a+2b=2，即a+b=1，利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：由題意：1是2a與2b的等差中項(xiàng)，則2a+2b=2，即a+b=1．
那么（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）×1=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）（a+b）=2+$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$．
∵a＞0，b＞0，
∴$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$≥2$\sqrt{\frac{a}{b}×\frac{b}{a}}$=2，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)）
故得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值為4．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差中項(xiàng)的性質(zhì)以及“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．