Question

20．若函數y=f（x）與y=3^-x的圖象關于直線y=x對稱，則函數y=f（4x-x²）的增區間為（　　）

• A． （2，4）
• B． （0，2）
• C． （-∞，2）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 求出f（x）的解析式，可得y=f（4x-x²）的表達式，可求增區間．

解答 解：函數y=f（x）與y=3^-x的圖象關于直線y=x對稱，可知：他們互為反函數，
∴y=f（x）=-log₃x=$lo{g}_{\frac{1}{3}}x$
那么：f（4x-x²）=$lo{g}_{\frac{1}{3}}（4x-{x}^{2}）$，
令t=4x-x²
∵t＞0
∴0＜x＜4．
∵f（x）在其定義域內是單調減函數，
而t=4x-x²在（0，2）上單調遞增，在（2，4）單調遞減．
則復合函數函數y=f（4x-x²）的增區間為（2，4）．
故選A．

點評 本題考察了反函數的求法和對數函數的單調性的運用，以及復合函數的單調性的判斷，依據是“同增異減”．屬于中檔題．