Question

6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，且∠DAB=$\frac{π}{3}$，PA=PD，點E為CD邊的中點，BD⊥PE．
（1）求證：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）若∠APD=$\frac{π}{3}$，四棱錐P-ABCD的體積為2，求點A到平面PBE的距離．

Answer 1

分析 （1）取AD的中點F，可得EF∥AC．由ABCD是菱形，可得BD⊥AC，則BD⊥EF，結合已知BD⊥PE，可得BD⊥平面PEF，得BD⊥PF．由等腰三角形的性質可得PF⊥AD，再由線面垂直的判定可得PF⊥平面ABCD，進一步得到平面PAD⊥平面ABCD；
（2）設菱形ABCD的邊長為a，由四棱錐P-ABCD的體積為2列式求得a，求解直角三角形可得PE，PB，BE，進一步求出三角形PBE的面積．利用等積法求點A到平面PBE的距離．

解答 （1）證明：如圖，取AD的中點F，連接PF，EF，
在三角形DAC中，EF∥AC．
又ABCD是菱形，∴BD⊥AC，則BD⊥EF，
又BD⊥PE，∴BD⊥平面PEF，則BD⊥PF．
又PA=PD，點F是AD邊中點，∴PF⊥AD，則PF⊥平面ABCD，
又PF?平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD；
（2）解：設菱形ABCD的邊長為a，又PA=PD，$∠APD=\frac{π}{3}$，
∴${S}_{四邊形ABCD}=\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$，PF=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
∵${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{四邊形ABCD}•PF=2$，∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=2$，解得a=2，
在Rt△PFE中，由PF=$\sqrt{3}$，EF=$\sqrt{3}$，得PE=$\sqrt{6}$，
在Rt△PFB中，由PF=$\sqrt{3}$，BF=$\sqrt{3}$，得PB=$\sqrt{6}$．
在△PEB中，PE=$\sqrt{6}$，PB=$\sqrt{6}$，BE=$\sqrt{3}$，可得${S}_{△PBE}=\frac{3\sqrt{7}}{4}$．
∵V_P-ABE=V_A-PBE，${S}_{△ABE}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
設點A到平面PBE的距離，則$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}=\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{7}}{4}d$，得d=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$．
∴點A到平面PBE的距離為$\frac{4\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的判定，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．