Question

14．設a是實數，f（x）=a-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$（x∈R）
（1）如果f（x）為奇函數，試確定a的值．
（2）當f（x）為奇函數時，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數在0處有定義，則有f（0）=0；
（2）根據反比例函數性質和不等式性質求函數的值域．

解答 解：（1）因為f（x）為R上的奇函數，
所以f（0）=a-$\frac{1}{2}$=0，
所以a=$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）知，f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，
因為x∈R，所以2^x+1＞1，0＜$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜1
所以-1＜-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜0，
所以-$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜$\frac{1}{2}$，
所以f（x）的值域為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查函數奇偶性，此題單調性用定義比用導數容易一些，（2）中的值域主要利用反比例函數模型結合不等式的性質求解．