Question

9．已知函數f（x）=4sinxcos（x-$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的對稱中心及單調增區間．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換可求得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），從而可求函數f（x）的最小正周期與對稱軸方程；
（2）利用正弦函數的對稱中心以及單調增區間求解函數的對稱中心以及單調增區間即可．

解答 解：（1）∵f（x）=4sinx（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）-$\sqrt{3}$
=sin2x+$\sqrt{3}$（1-cos2x）-$\sqrt{3}$
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x
=2（$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴函數f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）由2x-$\frac{π}{3}$=kπ（k∈Z）得，x=$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$（k∈Z），
∴其對稱中心為：（$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，0）（k∈Z）；
2k$π-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解得x∈[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z）．

點評 本題考查三角函數中的恒等變換應用，著重考查其周期性與對稱性及單調性與最值，屬于中檔題．