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1.已知函數f(x)=x-1-lnx.
(1)求函數f(x)的極值;
(2)對?x>0,f(x)≥bx-2恒成立,求實數b的取值范圍.

分析 (1)令導數大于0解出增區間,令導數小于0,解出函數的減區間,然后由極值判斷規則確定出極值即可.
(2)由于f(x)≥bx-2恒成立,得到b≤1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$在(0,+∞)上恒成立,構造函數g(x)=1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$,b≤g(x)min即可

解答 解:(1)f′(x)=1-$\frac{1}{x}$,
令f′(x)>0,得x>1,
列表:

x(0,1)1(1,+∞)
f′(x)-0+
f(x)0
∴函數y=f(x)的極小值為f(1)=0;
(2)依題意對?x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立
等價于x-1-lnx≥bx-2在(0,+∞)上恒成立
可得b≤1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$在(0,+∞)上恒成立,
令g(x)=1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$,g′(x)=$\frac{lnx-2}{{x}^{2}}$,
令g′(x)=0,得x=e2
列表:
x(0,e2e2(e2,+∞)
g'(x)-0+
g(x)1-$\frac{1}{{e}^{2}}$
∴函數y=g(x)的最小值為g(e2)=1-$\frac{1}{{e}^{2}}$,
故b≤1-$\frac{1}{{e}^{2}}$.

點評 本題考查利用導數研究函數的極值,考查恒成立問題,著重考查分類討論思想與構造函數思想的應用,體現綜合分析問題與解決問題能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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