Question

1．已知函數f（x）=x-1-lnx．
（1）求函數f（x）的極值；
（2）對?x＞0，f（x）≥bx-2恒成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令導數大于0解出增區間，令導數小于0，解出函數的減區間，然后由極值判斷規則確定出極值即可．
（2）由于f（x）≥bx-2恒成立，得到b≤1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$在（0，+∞）上恒成立，構造函數g（x）=1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，b≤g（x）_min即可

解答 解：（1）f′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
令f′（x）＞0，得x＞1，
列表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	0	↗

∴函數y=f（x）的極小值為f（1）=0；
（2）依題意對?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立
等價于x-1-lnx≥bx-2在（0，+∞）上恒成立
可得b≤1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，g′（x）=$\frac{lnx-2}{{x}^{2}}$，
令g′（x）=0，得x=e²
列表：

x	（0，e2）	e2	（e2，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	↘	1-$\frac{1}{{e}^{2}}$	↗

∴函數y=g（x）的最小值為g（e2）=1-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
故b≤1-$\frac{1}{{e}^{2}}$．

點評 本題考查利用導數研究函數的極值，考查恒成立問題，著重考查分類討論思想與構造函數思想的應用，體現綜合分析問題與解決問題能力，屬于中檔題．