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11.設函數f(x)=|x-a|+|2x-a|(a<0).
(1)證明:f(x)+f(-$\frac{1}{x}$)≥6;
(2)若不等式f(x)<$\frac{1}{2}$的解集為非空集,求a的取值范圍.

分析 (1)根據絕對值的性質證明即可;
(2)求出f(x)的解析式,畫出圖象,求出a的范圍即可.

解答 解:(1)f(x)+f(-$\frac{1}{x}$)=(|x-a|+|2x-a|)+(|-$\frac{1}{x}$-a|+|-$\frac{2}{x}$-a|)
=(|x-a|+|-$\frac{1}{x}$-a|)+(|2x-a|+|-$\frac{2}{x}$-a|)≥|(x-a)-(-$\frac{1}{x}$-a)|+|(2x-a)-(-$\frac{2}{x}$-a)|
=|x+$\frac{1}{x}$|+|2x+$\frac{2}{x}$|=|x|+$\frac{1}{|x|}$+|2x|+$\frac{2}{|x|}$≥6(當且僅當x=±1時取等號)
(2)函數f(x)=(x-a)+(2x-a)=$\left\{\begin{array}{l}{2a-3,(x≤a)}\\{-x,(a<x≤\frac{a}{2}}\\{3x-2a,(x>\frac{2}{a})}\end{array}\right.$,
圖象如圖所示:

當x=$\frac{a}{2}$時,ymin=-$\frac{a}{2}$,依題意:-$\frac{a}{2}$<$\frac{1}{2}$,解得:a>-1,
∴a的取值范圍是(-1,0).

點評 本題考查了絕對值不等式的性質,考查函數最值問題,是一道中檔題.

練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

1.已知函數f(x)=x-1-lnx.
(1)求函數f(x)的極值;
(2)對?x>0,f(x)≥bx-2恒成立,求實數b的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題

2.如圖,在矩形ABCD中,M是BC的中點,N是CD的中點,若$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AM}$+μ$\overrightarrow{BN}$,則λ+μ=(  )
A.$\frac{2}{5}$B.$\frac{4}{5}$C.$\frac{6}{5}$D.$\frac{8}{5}$

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19.已知函數$f(x)=lnx-\frac{1}{2}a{x}^{2}+x,a∈R$.
(1)當a=0時,求函數f(x)在(1,f(1))處的切線方程;
(2)令g(x)=f(x)-(ax-1),求函數g(x)的極值;
(3)若a=-2,正實數x1,x2滿足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,證明:${x}_{1}+{x}_{2}≥\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

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6.在公比為2的等比數列{an}中,a2與a5的等差中項是$9\sqrt{3}$.
(1)求a1的值;
(2)若函數$y=|{a_1}|sin(\frac{π}{4}x+φ)(|φ|<π)$的一部分圖象如圖所示,M(-1,|a1|),N(3,-|a1|)為圖象上的兩點,設∠MPN=β,其中P與坐標原點O重合,0<β<π,求sin(2φ-β)的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題

16.下列說法正確的是(  )
A.若命題p,¬q為真命題,則命題p∧q為真命題
B.“若$α=\frac{π}{6}$,則$sinα=\frac{1}{2}$”的否命題是“若$α=\frac{π}{6}$,則$sinα≠\frac{1}{2}$”
C.命題p:“$?{x_0}∈R,x_0^2-{x_0}-5>0$”的否定¬p:“?x∈R,x2-x-5≤0”
D.若f(x)是定義在R上的函數,則“f(0)=0”是“函數f(x)是奇函數”的充要條件

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

3.已知函數f(x)=ex+ax,g(x)=x•ex+a
(1)若對于任意的實數x,都有f(x)≥1,求實數a的取值范圍;
(2)令F(x)=[g(x)-f(x)],且實數a≠0,若函數F(x)存在兩個極值點x1,x2,證明:0<e2F(x1)<4且0<e2F(x2)<4.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

20.設定義在R上的函數f(x)滿足f(2x)=2f(x)+1且,f(1)=2.
(1)求f(0),f(2),f(4)的值;
(2)若f(x)為一次函數,且g(x)=(x-m)f(x)在(3,+∞)上為增函數,求m的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題

12.$f(x)=\frac{1}{2}{x^2}-ax+alnx$有兩個極值點,則a的范圍是(  )
A.a<0B.a>4C.a>4或 a<0D.以上都不對

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