Question

11．設函數f（x）=|x-a|+|2x-a|（a＜0）．
（1）證明：f（x）+f（-$\frac{1}{x}$）≥6；
（2）若不等式f（x）＜$\frac{1}{2}$的解集為非空集，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據絕對值的性質證明即可；
（2）求出f（x）的解析式，畫出圖象，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）+f（-$\frac{1}{x}$）=（|x-a|+|2x-a|）+（|-$\frac{1}{x}$-a|+|-$\frac{2}{x}$-a|）
=（|x-a|+|-$\frac{1}{x}$-a|）+（|2x-a|+|-$\frac{2}{x}$-a|）≥|（x-a）-（-$\frac{1}{x}$-a）|+|（2x-a）-（-$\frac{2}{x}$-a）|
=|x+$\frac{1}{x}$|+|2x+$\frac{2}{x}$|=|x|+$\frac{1}{|x|}$+|2x|+$\frac{2}{|x|}$≥6（當且僅當x=±1時取等號）
（2）函數f（x）=（x-a）+（2x-a）=$\left\{\begin{array}{l}{2a-3，（x≤a）}\\{-x，（a＜x≤\frac{a}{2}}\\{3x-2a，（x＞\frac{2}{a}）}\end{array}\right.$，
圖象如圖所示：

當x=$\frac{a}{2}$時，y_min=-$\frac{a}{2}$，依題意：-$\frac{a}{2}$＜$\frac{1}{2}$，解得：a＞-1，
∴a的取值范圍是（-1，0）．

點評 本題考查了絕對值不等式的性質，考查函數最值問題，是一道中檔題．