Question

16．已知三個集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²-ax+a-1=0}，C={x|x²-bx+2=0}，問同時滿足B?A，A∪C=A的實數a，b是否存在？若存在，求出a，b的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 由已知得a-1=1，A∪C=A，由此利用分類討論求出結果．

解答 解：∵A={x|x²-3x+2=0}={1，2}，B={x|（x-1）（x-a+1）=0}，
又B$\begin{array}{l}?\\≠\end{array}$A，∴a-1=1，即a=2，∵A∪C=A，∴C⊆A，則C中的元素有以下三種情況：
①若C=∅時，即方程x²-bx+2=0無實根，
∴$△={b^2}-8＜0，-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$
②若C={1}或C={2}，即方程x²-bx+2=0有兩個相等的實根，
∴$△={b^2}-8=0，b=±2\sqrt{2}$，此時$C=\left\{{\sqrt{2}}\right\}$或$C=\left\{{-\sqrt{2}}\right\}$，不符合題意，舍去．
③若C={1，2}時，則b=1+2=3，而兩根之積恰好等于2，
故同時滿足B$\begin{array}{l}?\\≠\end{array}$A，A∪C=A的實數a，b存在．
綜上所述，$a=2，-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$或b=3．

點評 本題考查滿足條件的實數是否存在的判斷與求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．