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16.已知三個集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-bx+2=0},問同時滿足B?A,A∪C=A的實數a,b是否存在?若存在,求出a,b的值,若不存在,請說明理由.

分析 由已知得a-1=1,A∪C=A,由此利用分類討論求出結果.

解答 解:∵A={x|x2-3x+2=0}={1,2},B={x|(x-1)(x-a+1)=0},
又B$\begin{array}{l}?\\≠\end{array}$A,∴a-1=1,即a=2,∵A∪C=A,∴C⊆A,則C中的元素有以下三種情況:
①若C=∅時,即方程x2-bx+2=0無實根,
∴$△={b^2}-8<0,-2\sqrt{2}<b<2\sqrt{2}$
②若C={1}或C={2},即方程x2-bx+2=0有兩個相等的實根,
∴$△={b^2}-8=0,b=±2\sqrt{2}$,此時$C=\left\{{\sqrt{2}}\right\}$或$C=\left\{{-\sqrt{2}}\right\}$,不符合題意,舍去.
③若C={1,2}時,則b=1+2=3,而兩根之積恰好等于2,
故同時滿足B$\begin{array}{l}?\\≠\end{array}$A,A∪C=A的實數a,b存在.
綜上所述,$a=2,-2\sqrt{2}<b<2\sqrt{2}$或b=3.

點評 本題考查滿足條件的實數是否存在的判斷與求法,是基礎題,解題時要認真審題,注意分類討論思想的合理運用.

練習冊系列答案
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