Question

14．已知函數f（x）=1-$\frac{a}{x}$-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）當a=1時，求函數f（x）的圖象在點（$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{2}$））處的切線方程；
（Ⅱ）當a≥0時，記函數Γ（x）=$\frac{1}{2}$ax²+（1-2a）x+$\frac{a}{x}$-1+f（x），試求Γ（x）的單調遞減區間；
（Ⅲ）設函數h（x）=3λa-2a²（其中λ為常數），若函數f（x）在區間（0，2）上不存在極值，當λ∈（-∞，0]∪[${\frac{8}{3}$，+∞）時，求h（a）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=1時，化簡函數的解析式求出函數的導數，求出斜率以及切點坐標，求解切線方程．
（Ⅱ）化簡函數Γ（x）的解析式，求出函數的導數，通過①當a=0時，②當a＞0時，分別通過函數的極值點，判斷函數的單調性．求出單調區間．
（Ⅲ）通過函數的導數為0，求出極值點，利用題意轉化為函數f（x）在區間（0，2）上不存在極值，求出a的范圍然后求解h（a）_max值即可

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=1-$\frac{1}{x}-lnx$
$f′（x）=\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}$，則f′（$\frac{1}{2}$）=4-2=2，$f（\frac{1}{2}）=ln2-1$
∴函數f（x）的圖象在點（$\frac{1}{2}，ln2-1）$的切線方程為：y-（ln2-1）=2（x-$\frac{1}{2}$），
即2x-y+ln2-2=0．
（Ⅱ）∵f（x）=1-$\frac{a}{x}$-lnx（a∈R）．Γ（x）=$\frac{1}{2}$ax²+（1-2a）x+$\frac{a}{x}$-1+f（x）=Γ（x）=$\frac{1}{2}$ax²+（1-2a）x-lnx
Γ′（x）=ax+（1-2a）-$\frac{1}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-（2a-1）x-1}{x}$
①當a=0時，Γ′（x）=$\frac{x-1}{x}$
由Γ′（x）=$\frac{x-1}{x}$≤0及x＞0可得：0＜x≤1，Γ（x）的單調遞減區間為（0.1]
②當a＞0時，Γ′（x）=ax+（1-2a）-$\frac{1}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-（2a-1）x-1}{x}$
．由ax²-（2a-1）x-1=0可得：△=（2a-1）²+4a=4a²+1＞0
設其兩根為x₁，x₂，因為${x}_{1•}{x}_{2}=-\frac{1}{a}＜0$，所以x₁x₂一正一負
設其正根為x₂，則x₂₌$\frac{2a-1+\sqrt{4{a}^{2}+1}}{2a}$
由Γ′（x）=$\frac{a{x}^{2}-（2a-1）x-1}{x}$≤0及x＞0可得0$＜x＜\frac{2a-1+\sqrt{4{a}^{2}+1}}{2a}$
∴Γ（x）=的單調遞減區間為（0，$\frac{2a-1+\sqrt{4{a}^{2}+1}}{2a}$]．
（Ⅲ）f′（x）=$\frac{a}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}=\frac{a-x}{{x}^{2}}$，由f′（x）=0⇒x=a
由于函數f（x）在區間（0，2）上不存在極值，所以a≤0或a≥2 
對于h（a）=3λa-2a²，對稱軸a=$\frac{3}{4}λ$
當或$\frac{3λ}{4}≤0或\frac{3λ}{4}≥2$，即λ≤0或$λ≥\frac{8}{3}$時，h（a）_max=h（$\frac{3λ}{4}）$）=$\frac{9}{8}{λ}^{2}$
當0$＜\frac{3λ}{4}≤1$，即0＜λ≤1時，h（a）_max=h（0）═0，
當$1＜\frac{3λ}{4}＜2，即\frac{4}{3}＜λ＜\frac{8}{3}時，h（a）max=h（2）=6λ-8$；
綜上可知：h（a）_max=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{8}{λ}^{2}..（λ≤0或λ≥\frac{8}{3}）}\\{0…（0＜λ≤\frac{4}{3}）}\\{6λ-8…（\frac{4}{3}＜λ＜\frac{8}{3}）}\end{array}\right.$

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，函數的單調性以及函數的極值最值的求法，考查分類討論以及轉化思想的應用．屬于壓軸題．