Question

4．在等差數列{a_n}中，$\frac{{a}_{1010}}{{a}_{1009}}$＜-1，若它的前n項和S_n有最大值，則使S_n＞0的最大正整數n的值為2018．

Answer 1

分析 $\frac{{a}_{1010}}{{a}_{1009}}$＜-1，若它的前n項和S_n有最大值，可得等差數列{a_n}是單調遞減數列，d＜0，a₁₀₁₀＜0，a₁₀₀₉＞0，a₁₀₁₀+a₁₀₀₉＞0，再利用等差數列的求和公式及其性質即可得出．

解答 解：∵$\frac{{a}_{1010}}{{a}_{1009}}$＜-1，若它的前n項和S_n有最大值，
∴等差數列{a_n}是單調遞減數列，d＜0，a₁₀₁₀＜0，a₁₀₀₉＞0，a₁₀₁₀+a₁₀₀₉＞0，
∴S₂₀₁₈=$\frac{2018（{a}_{1}+{a}_{2018}）}{2}$=1009（a₁₀₁₀+a₁₀₀₉）＞0，
S₂₀₁₉=$\frac{2019（{a}_{1}+{a}_{2019}）}{2}$=2019a₁₀₁₀＜0，
∴使S_n＞0的最大正整數n的值為2018．
故答案為：2018．

點評 本題考查了等差數列的通項公式性質及其求和公式、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．