Question

已知函數f(x)=loga(

x2+1

+x)（其中a＞1）．
（1）判斷函數y=f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）求函數y=f（x）的反函數y=f^-1（x）；
（3）若兩個函數F（x）與G（x）在閉區間[p，q]上恒滿足|F（x）-G（x）|＞2，則稱函數F（x）與G（x）在閉區間[p，q]上是分離的．試判斷函數y=f^-1（x）與g（x）=a^x在閉區間[1，2]上是否分離？若分離，求出實數a的取值范圍；若不分離，請說明理由．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,反函數

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數奇偶性的定義進行判斷；
（2）根據反函數的定義，反解x，主要x的取值范圍；
（3）根據兩函數在閉區間上分離的概念課求得

解答： 解：（1）∵

x2+1

+x＞|x|+x≥0，
∴函數y=f（x）的定義域為R，
又∵f(x)+f(-x)=loga(

x2+1

+x)+loga(

x2+1

-x)=loga(x2+1-x2)=0，
∴函數y=f（x）是奇函數．

（2）由

x2+1

+x＞0，且當x→-∞時，

x2+1

+x→0，
當x→+∞時，

x2+1

+x→+∞，得f(x)=loga(

x2+1

+x)的值域為實數集．
解y=loga(

x2+1

+x)得f-1(x)=

1

2

(ax-a-x)，x∈R．

（3）|

1

2

(ax-a-x)-ax|＞2在區間[1，2]上恒成立，即

1

2

|ax+a-x|＞2，
即a^x+a^-x＞4在區間[1，2]上恒成立，
令a^x=t，∵a＞1，∴t∈[a，a²]，t+

1

t

在t∈[a，a²]上單調遞增，∴(t+

1

t

)min=a+

1

a

＞4，
解得a＞2+

3

，∴a∈(2+

3

，+∞)．

點評：本題主要考查函數的奇偶性、反函數以及新概念的題目．