Question

19．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的左右焦點，P為橢圓上一點，若△F₁F₂P為直角三角形，該三角形的面積為$\frac{48}{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)P點為橢圓的上下頂點時，∠F₁F₂P取到最大值即可判斷出∠F₁F₂P=90°，求得P點的縱坐標(biāo)，從而求出△PF₁F₂的面積．

解答 解：當(dāng)P點為橢圓的上頂點時，△F₁F₂P為直角三角形，
∠F₁F₂P最大，根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求得∠F₁F₂P=90°；
∴∠F₁PF₂不可能是直角；
∴只能是PF₂⊥x軸；橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的右焦點（3，0），2c=6，|F₂P|=$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{16}{5}$．
三角形的面積為：$\frac{1}{2}×6×\frac{16}{5}$=$\frac{48}{5}$/
故答案為：$\frac{48}{5}$．

點評 考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的焦點及頂點，以及∠F₁F₂P取到最大值是解題的關(guān)鍵．