Question

8．已知函數f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x+$\frac{a}{x}$，a∈R．
（1）當a=2時，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）當x＞1時，f（x）＜0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，求出曲線的斜率，利用點斜式求解切線方程即可．
（2）轉化不等式，分離變量，構造函數，通過函數的導數求解函數的最值即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$，
當a=2時f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$，f′（1）=-$\frac{3}{2}$，又f（1）=$\frac{3}{2}$，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為：3x+2y-6=0
（2）由題意即$a＜\frac{x^2}{2}-xlnx$對一切x∈（1，+∞）恒成立
令$g（x）=\frac{x^2}{2}-xlnx$，則g′（x）=x-（lnx+1），${g^{，}}（x）=1-\frac{1}{x}$
當x＞1時，g′（x）＞0，故g′（x）=x-（lnx+1）在（1，+∞）上為增函數，
g′（x）＞g′（1）=0，即$g（x）=\frac{x^2}{2}-xlnx$在（1，+∞）上為增函數$g（x）＞g（1）=\frac{1}{2}$，
故$a≤\frac{1}{2}$．

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，切線方程以及函數的最值的求法，構造法的應用，考查分析問題解決問題的能力．