Question

11．已知f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）不求導數(shù)，判斷f′（x）=0有幾個實根，并指出這些根所在的范圍．

Answer 1

分析 令f（x）=0，則x=1，2，3，4，可得f（1）=f（2）=f（3）=f（4）=0，再利用羅爾定理，即可得出結(jié)論．

解答 解：令f（x）=0，則x=1，2，3，4，∴f（1）=f（2）=f（3）=f（4）=0．
又f（x）在區(qū)間[1，2]上連續(xù)，在區(qū)間〔1，2〕上可導，f（1）=f（2）=0，
由羅爾定理可知：方程f'（x）=0在區(qū)間（1，2）至少存在一個實根；
同理可知：方程f'（x）=0分別在區(qū)間（2，3）（3，4）都至少存在一個實根，
又f'（x）=0為三次方程，其根至多三個，
∴f'（x）=0有三個實根，其區(qū)間分別是（1，2），（2，3），（3，4）．

點評 本題考查羅爾定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．