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1.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,P為橢圓上一點(在x軸上方),連結(jié)PF1并延長交橢圓于另一點Q,設(shè)$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=λ$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$.
(1)若點P的坐標(biāo)為 (1,$\frac{3}{2}$),且△PQF2的周長為8,求橢圓C的方程;
(2)若PF2垂直于x軸,且橢圓C的離心率e∈[$\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$],求實數(shù)λ的取值范圍.

分析 (1)由F1,F(xiàn)2為橢圓C的兩焦點,且P,Q為橢圓上的點,利用橢圓的定義可得△PQF2的周長為4a.由點P的坐標(biāo)為 (1,$\frac{3}{2}$),可得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4{b}^{2}}$=1,解出即可得出.
(2)利用向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、點與橢圓的位置關(guān)系即可得出.

解答 解:(1)∵F1,F(xiàn)2為橢圓C的兩焦點,且P,Q為橢圓上的點,
∴PF1+PF2=QF1+QF2=2a,從而△PQF2的周長為4a.
由題意,得4a=8,解得a=2.  
∵點P的坐標(biāo)為 (1,$\frac{3}{2}$),∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4{b}^{2}}$=1,
解得b2=3.
∴橢圓C的方程為$\frac{x2}{4}$+$\frac{y2}{3}$=1. 
(2)∵PF2⊥x軸,且P在x軸上方,故設(shè)P(c,y0),y0>0.設(shè)Q(x1,y1).
∵P在橢圓上,∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$=1,解得y0=$\frac{{b}^{2}}{a}$,即P(c,$\frac{{b}^{2}}{a}$).
∵F1(-c,0),∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=(-2c,-$\frac{{b}^{2}}{a}$),$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=(x1+c,y1).
由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=λ$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$,得-2c=λ(x1+c),-$\frac{{b}^{2}}{a}$=λy1
解得x1=-$\frac{λ+2}{λ}$c,y1=-$\frac{{b}^{2}}{λa}$,∴Q(-$\frac{λ+2}{λ}$c,-$\frac{{b}^{2}}{λa}$).
∵點Q在橢圓上,∴($\frac{λ+2}{λ}$)2e2+$\frac{{b}^{2}}{{λ}^{2}{a}^{2}}$=1,
即(λ+2)2e2+(1-e2)=λ2,(λ2+4λ+3)e22-1,
∵λ+1≠0,∴(λ+3)e2=λ-1,從而λ=$\frac{3e2+1}{1-e2}$=$\frac{4}{1-e2}$-3.
∵e∈[$\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$],∴$\frac{1}{4}$≤e2≤$\frac{1}{2}$,即$\frac{7}{3}$≤λ≤5.
∴λ的取值范圍為[$\frac{7}{3}$,5].

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、點與橢圓的位置關(guān)系,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.

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