Question

10．已知數列{a_n-4}是公比為-$\frac{1}{2}$的等比數列，設S_n為數列{a_n}的前n項和，且a₁=5，若對任意n∈N^*，都有P（S_n-4n）∈[1，3]，則實數P的取值范圍是[2，3]．

Answer 1

分析 數列{a_n-4}是公比為-$\frac{1}{2}$的等比數列，可得a_n=4+$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，利用求和公式可得：數列{a_n}的前n項和S_n=4n+$\frac{2}{3}$$[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$，由于對于任意n∈N^*，都有P（S_n-4n）∈[1，3]，可得$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$≤$\frac{2p}{3}$≤$\frac{3}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$．對n分類討論，利用數列的單調性與不等式的性質即可得出．

解答 解：∵數列{a_n-4}是公比為-$\frac{1}{2}$的等比數列，∴a_n-4=（a₁-4）×$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，a₁=5，
∴a_n=4+$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴數列{a_n}的前n項和S_n=4n+$\frac{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}{1-（-\frac{1}{2}）}$=4n+$\frac{2}{3}$$[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$，
∴S_n-4n=$\frac{2}{3}$$[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$，
由于對于任意n∈N^*，都有P（S_n-4n）∈[1，3]，
∴$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$≤$\frac{2p}{3}$≤$\frac{3}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$．
∴
n為奇數時，$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$∈$[\frac{2}{3}，1）$；
n為偶數時，$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$∈$（1，\frac{4}{3}]$．
∴$\frac{4}{3}$≤$\frac{2p}{3}$≤2，解得2≤p≤3．
則實數P的取值范圍是[2，3]．
故答案為：[2，3]．

點評 本題考查了等差數列的通項公式與求和公式、數列的單調性、不等式的性質，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．