Question

18．已知函數f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）若a=1，解不等式：f（x）≥4-|x-1|；
（Ⅱ）若f（x）≤1的解集為[0，2]，$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{2n}$=a（m＞0，n＞0），求mn的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=1時，化簡不等式，去絕對值即可求解．
（Ⅱ）根據不等式的解集求出a的值，利用基本不等式的性質求解最小值．

解答 解：（Ⅰ）函數f（x）=|x-a|．
當a=1時，不等式為|x-1|≥4-|x-1|，即|x-1|≥2，
解得：x-1≥2或x-1≤-2，即x≥3或x≤-1，
∴原不等式的解集為（-∞，-1]∪[3，+∞）；
（Ⅱ）f（x）≤1的解集為[0，2]，
即f（x）≤1
?|x-a|≤1
?-1≤x-a≤1
?a-1≤x≤a+1，
∵f（x）≤1的解集為[0，2]
∴$\left\{\begin{array}{l}a-1=0\\ a+1=2\end{array}\right.⇒a=1$．
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{2n}=1≥2\sqrt{\frac{1}{2mn}}（{m＞0\;\;，\;\;n＞0}）$，
∴mn≥2，
（當且僅當$\frac{1}{m}=\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}$即m=2，n=1時取等號）
∴mn的最小值為2．

點評 本題考查了函數絕對值不等式的解法，去掉絕對值是關鍵．同時考查了基本不等式的性質的運用．屬于基礎題．