Question

10．如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．
（1）求證：BD⊥平面AED；
（2）若△EAD中，AE=ED，∠EAD=45°，求二面角F-BD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出BD⊥AD，AE⊥BD，由此能證明BD⊥面AED．
（2）以D為坐標原點，DA，DB為x軸，y軸，過點D作CF的平行線為Z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角F-BD-E的余弦值．

解答 證明：（1）∵AB∥CD，∠DAB=60°，
∴∠DCB=120°，
∵CD=CB，∴∠CDB=30°，∴BD⊥AD，
∵AE⊥BD，AE∩AD=A，AE?面AED，
∴BD⊥面AED．
解：（2）以D為坐標原點，DA，DB為x軸，y軸，
過點D作CF的平行線為Z軸，建立空間直角坐標系，
設CD=CB=2，則$DB=2\sqrt{3}，AD=2$，
由條件得：$AE=\sqrt{2}=ED$，作EH⊥AD，
則由已知得EH⊥平面ABCD，且EH=DH=1．
∴$E（1，0，1），F（-1，\sqrt{3}，2），B（0，2\sqrt{3}，0）$，
設面DBE的法向量$\overrightarrow{n_1}=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{y=0}\\{x+0+z=0}\end{array}}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n_1}=（1，0，-1）$．
設面DBF的法向量$\overrightarrow{n_2}=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{DF}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{y=0}\\{-x+0+2z=0}\end{array}}\right.$，則取x=2，得$\overrightarrow{n_2}=（2，0，1）$．
∵$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
∴二面角F-BD-E的余弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．