Question

20．已知奇函數f（x）是定義在R上的可導函數，其導函數為f′（x），當x＞0時有2f（x）+xf′（x）＞x²，則不等式（x+2014）²f（x+2014）+4f（-2）＜0的解集為（　　）

• A． （-∞，-2012）
• B． （-2016，-2012）
• C． （-∞，-2016）
• D． （-2016，0）

Answer 1

分析 構造函數F（x）=x²f（x），根據導數求出函數的單調區間，再由（x+2014）²f（x+2014）+4f（-2）＜0轉化為F（x+2014）＜-F（-2）=F（2），解得即可．

解答 解：由2f（x）+xf′（x）＞x²，（x＞0）；
得：2xf（x）+x²f′（x）＞x³
即[x²f（x）]′＞x³＞0；
令F（x）=x²f（x）；
則當x＞0時，F'（x）＞0，即F（x）在（0，+∞）上是增函數，
∵f（x）為奇函數，
∴F（x）=x²f（x）為奇函數，
∴F（x）在（-∞，0）上是增函數，
∴F（x+2014）=（x+2014）²f（x+2014），F（-2）=4f（-2）；
即不等式等價為F（x+2014）+F（-2）＜0；
即F（x+2014）＜-F（-2）=F（2），
∴x+2014＜2，∴x＜-2012；
∴原不等式的解集是（-∞，-2012）．
故選：A．

點評 本題考查函數的單調性與導數的關系，兩個函數乘積的導數的求法，而構造函數是解本題的關鍵．