Question

5．已知f（x）=x²+alog₂（x²+2）+a²-2有唯一零點，則實數a的值為1．

Answer 1

分析 根據函數奇偶性的性質得到方程f（x）=0的根為0，解方程即可得到結論．

解答 解：∵f（x）=x²+alog₂（x²+2）+a²-2，則函數f（x）為偶函數，
方程x²+alog₂（x²+2）+a²-2=0有唯一解，等價為f（x）=0有唯一的解x=0，
則alog₂2+a²-2=a+a²-2=0，得a=-2 或a=1．
當a=-2時，f（x）=x² -2log₂（x²+2）+2，由于f（$\sqrt{2}$）=0，此時，函數f（x）不止一個零點，
不滿足條件，故舍去．
當a=1 時，f（x）=x²+log₂（x²+2）-1，在[0，+∞）上單調遞增，且f（0）=0，滿足條件，
故答案為：1．

點評 本題主要考查函數與方程的應用，根據條件構造函數，利用函數奇偶性的性質得到方程的根是解決本題的關鍵，屬于中檔題．