Question

16．已知函數f（x）=e^x-kx，x∈R，k為常數，e是自然對數的底數．
（1）當k=e時，證明f（x）≥0恒成立；
（2）若k＞0，且對于任意x＞0，f（x）＞0恒成立，試確定實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）k=e時，f（x）=e^x-ex，x∈R，f′（x）=e^x-e，令f′（x）=e^x-e=0，解得x=1，可知：函數f（x）在x=1時取得極小值，即最小值，而f（1）=0．即可證明．
（2）f′（x）=e^x-k，k＞0，令f′（x）=e^x-k=0，解得x=lnk，對k分類討論：①k∈（0，1]時，lnk≤0，利用單調性可得：f（x）＞f（0）=1＞0恒成立．②k∈（1，+∞）時，lnk＞0，可得函數f（x）在x=lnk時取得極小值，即最小值，因此f（lnk）＞0．解得1＜k＜e．即可得出k的求值范圍．

解答 （1）證明：k=e時，f（x）=e^x-ex，x∈R，f′（x）=e^x-e，令f′（x）=e^x-e=0，解得x=1，
∴x＞1時，f′（x）＞0，此時函數f（x）單調遞增；∴x＜1時，f′（x）＜0，此時函數f（x）單調遞減．
∴函數f（x）在x=1時取得極小值，即最小值，f（1）=0．
∴f（x）≥f（1）=0，因此當k=e時，f（x）≥0恒成立．
（2）解：f′（x）=e^x-k，k＞0，
令f′（x）=e^x-k=0，解得x=lnk，
①k∈（0，1]時，lnk≤0，因此x＞0，令f′（x）=e^x-k＞0，此時函數f（x）單調遞增，
∴f（x）＞f（0）=1＞0恒成立．
②k∈（1，+∞）時，lnk＞0，
因此x＞lnk，令f′（x）＞e^lnk-k=k-k＞0，此時函數f（x）單調遞增；
0＜x＜lnk時，f′（x）＜k-k=0，此時函數f（x）單調遞減．
∴函數f（x）在x=lnk時取得極小值，即最小值，因此f（lnk）=k-klnk=k（1-lnk）＞0．
解得1＜k＜e．
綜上①②可得：實數k的取值范圍是（0，e）．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、解不等式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．