Question

6．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，右頂點到直線x+y-$\sqrt{2}$=0的距離為1．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點M（0，-1）作直線l交橢圓于A、B兩點，交x軸于N點，且滿足$\overrightarrow{NA}$=-$\frac{7}{5}$$\overrightarrow{NB}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設橢圓的右頂點為（a，0）（a＞0），則$\frac{|a-\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=1，解得a．又離心率$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$，解出即可得出橢圓的方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x₀，0），由$\overrightarrow{NA}$=-$\frac{7}{5}$$\overrightarrow{NB}$，可得y₁=-$\frac{7}{5}$y₂．易知當直線l的斜率不存在或斜率為0時，不成立．于是設直線l的方程為y=kx-1（k≠0），與橢圓方程聯立消去x得（4k²+1）y²+2y+1-8k²=0，利用根與系數的關系解得k，即可得出．

解答 解：（1）設橢圓的右頂點為（a，0）（a＞0），則$\frac{|a-\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=1，
解得a=2$\sqrt{2}$或a=0（舍去）．  
又離心率$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故c=$\sqrt{6}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
故橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x₀，0），
∵$\overrightarrow{NA}$=-$\frac{7}{5}$$\overrightarrow{NB}$，∴（x₁-x₀，y₁）=-$\frac{7}{5}$（x₂-x₀，y₂），y₁=-$\frac{7}{5}$y₂．①
易知當直線l的斜率不存在或斜率為0時，①不成立，
于是設直線l的方程為y=kx-1（k≠0），聯立方程$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=kx-1}\end{array}\right.$，
消去x得（4k²+1）y²+2y+1-8k²=0，②
∵△＞0，∴直線與橢圓相交，
于是y₁+y₂=-$\frac{2}{4{k}^{2}+1}$，③y₁y₂=$\frac{1-8{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，④
由①③得，y₂=$\frac{5}{4{k}^{2}+1}$，y₁=-$\frac{7}{4{k}^{2}+1}$，
代入④整理得8k⁴+k²-9=0，k²=1，k=±1，
∴直線l的方程是y=x-1或y=-x-1．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、向量坐標運算性質、點到直線的距離公式、一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．