Question

16．已知函數$f（x）={cos^2}（ωx+φ）-\frac{1}{2}$，$（ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}）$．若f（x）的最小正周期為π，且$f（\frac{π}{8}）=\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）求ω和φ的值；
（Ⅱ）求函數f（x）在區間$[{\frac{π}{24}，\frac{13π}{24}}]$上的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角的余弦公式化簡函數的解析式，再利用y=Asin（ωx+φ）的周期，求得ω的值；結合$f（\frac{π}{8}）=\frac{1}{4}$求出φ的值即可；
（Ⅱ）根據余弦函數的單調性求出f（x）的單調區間，從而求出函數的最大值和最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）={cos^2}（ωx+φ）-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}[{1+cos（2ωx+2φ）}]-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}cos（2ωx+2φ）$…（2分）
∵f（x）的最小正周期為π，∴$\frac{2π}{2ω}=π$，∴ω=1．…（3分）
∵$f（\frac{π}{8}）=\frac{1}{4}$，∴$cos（\frac{π}{4}+2ϕ）=\frac{1}{2}$，
∵$0＜ϕ＜\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{4}＜\frac{π}{4}+2ϕ＜\frac{5}{4}π$，
∴$\frac{π}{4}+2ϕ=\frac{π}{3}$，∴$ϕ=\frac{π}{24}$…（6分）
（Ⅱ）∵$\frac{π}{24}≤x≤\frac{13π}{24}$∴$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{12}≤\frac{7π}{6}$，
∴$-1≤cos（2x+\frac{π}{12}）≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，即 $-\frac{1}{2}≤f（x）≤\frac{{\sqrt{3}}}{4}$…（8分）
∴當$2x+\frac{π}{12}=\frac{π}{6}$即$x=\frac{π}{24}$時，f（x）取得最大值$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$…（10分）
當$2x+\frac{π}{12}=π$即$x=\frac{11π}{24}$時，f（x）取得最小值$-\frac{1}{2}$…（12分）

點評 本題主要考查二倍角的余弦公式，余弦函數的周期性，兩角差的余弦公式以及函數的最值問題，是一道中檔題．