Question

7．已知函數f（x）=$\frac{1-m+lnx}{x}$，m∈R．
（1）求f（x）的極值；
（2）當m=0時，若不等式f（x）≥$\frac{k}{x+1}$對x∈[1，+∞）恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出導函數，再根據導數和函數的單調性關系求出單調區，即可得到函數的極值，
（2）分離參數，構造函數，根據導數和函數的最值得關系即可求出參數k的取值范圍．

解答 解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=$\frac{m-lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=e^m，
當x∈（0，e^m）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
當x∈（e^m，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
當x=e^m時，f（x）有極大值，且極大值為f（em）=e^-m，
（2）f（x）≥$\frac{k}{x+1}$對x∈[1，+∞）恒成立，
∴k≤$\frac{x+11+lnx}{x}$對x∈[1，+∞）恒成立，
令g（x）=$\frac{x+11+lnx}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$，
令h（x）=x-lnx，
則h′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
∵x＞1，
∴h′（x）≥0，
∴h（x）在[1，+∞）上單調遞增，
∴h（x）≥h（1）=1＞0，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在[1，+∞）上單調遞增，
∴g（x）_min=g（1）=2，
∴k≤2，
故k的取值范圍為（-∞，2]

點評 本題考查了導數和函數的極值和最值得關系，以及參數的取值范圍和恒成立的問題，屬于中檔題．